La
transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemático francés
Pierre-Simon
Laplace, que la presentó dentro de su teoría de la probabilidad. En 1744,
Leonhard Euler había
investigado un conjunto de integrales de la forma:
—
como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no profundizó en ellas y
pronto abandonó su investigación.
Joseph Louis
Lagrange, admirador de Euler, también investigó ese tipo de integrales, y
las ligó a la teoría de la probabilidad en un trabajo sobre funciones de
densidad de probabilidad de la forma:
—
que algunos historiadores interpretan como auténticas transformadas de
Laplace.
Este
tipo de integrales atrajeron la atención de Laplace cuando, en 1782, y siguiendo
la idea de Euler, trató de emplear estas integrales como soluciones de
ecuaciones diferenciales. Parece ser que en 1785 dio un paso más allá, y
reenfocó el problema para en vez de usar las integrales como soluciones,
aplicarlas a las ecuaciones dando lugar a las transformadas de Laplace tal y
como hoy en día se entienden. Usó una integral de la forma:
—
análoga a la
transformada de
Mellin, con la que transformó una ecuación diferencial en una ecuación
algebraica de la que buscó su solución. Planteó alguna de las principales
propiedades de su transformada, y de alguna forma reconoció que el método de
Joseph Fourier para
resolver por medio de
series de
Fourier la
ecuación de
difusión podría relacionarse con su transformada integral para un espacio
finito con soluciones periódicas.
Pese
al logro, las transformadas de Laplace pronto cayeron en un relativo olvido, al
haber sido presentadas en el campo de la probabilidad –ajeno a su moderna
aplicación en la física y la ingeniería–, y ser tratadas sobre todo como objetos
matemáticos meramente teóricos.
La
moderna aplicación de las transformadas de Laplace y toda su teoría subyaciente
surge en realidad en la segunda mitad del siglo XIX. Al tratar de resolver
ecuaciones diferenciales relacionadas con la teoría de vibraciones, el ingeniero
inglés
Oliver Heaviside (
1850-
1925) descubrió que los operadores
diferenciales podían tratarse analíticamente como variables algebraicas. De
acuerdo con el
"cálculo operacional", si se tiene una ecuación
diferencial de la forma:
—
donde D es el operador diferencial, esto es,
,
entonces la solución general a dicha ecuación es de la forma:
.
Heaviside
observó que si se trataba al operador D como una variable algebraica, era
posible alcanzar igualmente la solución de toda ecuación pareja a la de arriba.
En efecto, según la solución general, se cumple que:
Entonces,
si se considera una ecuación diferencial de segundo orden como la
siguiente:
—
ésta puede reescribirse en para resaltar el operador D como:
Heaviside
propuso despejar y y tratar a D algebraicamente, en cuyo caso se tendría
que:
Sustituyendo
las fracciones en D por la expresión integral de las mismas arriba presentada,
se llega a la solución de la ecuación diferencial:
Heaviside
publicó sus resultados, cuya utilidad a la hora de resolver ecuaciones de la
física y la ingeniería hizo que pronto se extendieran. Sin embargo, el trabajo
de Heaviside, formal y poco riguroso, atrajo las críticas de algunos matemáticos
puristas que los rechazaron argumentando que los resultados de Heaviside no
podían surgir de tal forma. No obstante, el éxito del método hizo que pronto
fuera adoptado por ingenieros y físicos de todo el mundo, de manera que al final
atrajo la atención de cierto número de matemáticos tratando de justificar el
método de manera rigurosa. Tras varias décadas de intentos, se descubrió que la
Transformada descubierta por Laplace hacía un siglo no sólo ofrecía un
fundamento teórico al método de cálculo operacional de Heaviside, sino que
además ofrecía una alternativa mucho más sistemática a tales métodos.
Hacia
principios del siglo XX, la transformada de Laplace se convirtió en una
herramienta común de la teoría de vibraciones y de la teoría de circuitos, dos
de los campos donde ha sido aplicada con más éxito. En general, la transformada
es adecuada para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con
condiciones iniciales en el origen. Una de sus ventajas más significativas
radica en que la
integración y
derivación se
convierten en
multiplicación y
división.
Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones
polinómicas, mucho más fáciles de resolver.También se aplica en EDP y ecuaciones
diferenciales en diferencias.
[editar]Propiedades
[editar]Linealidad
[editar]Derivación
=
- =
[editar]Integración
[editar]Desplazamiento de la
frecuencia
Desplazamiento temporal
[editar]Desplazamiento
potencia n-ésima
![\mathcal{L}\{\,t^nf(t)\} = (-1)^nD_s^n[F(s)]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sL54Cy3-7sJyRKnzqA1khErMZQQ-0JneYvoC5vA0mYWwHoj0FlXkzZ8mvH7xFWZ4qVNjib5OPrjRJ4u3w_thiR-zjof5AJxewWLGtwCpZriOIY_BBBnCXyLPCh0wtfRQUrEzKR7-swHD0JoJQ43Ef2B_iYe0lM6b52pqg=s0-d)
[editar]Convolución
[editar]Transformada de Laplace de una función con
periodo p
[editar]Condiciones de
convergencia
(que
crece más rápido que 
)
no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que 
,
es una función de orden exponencial de ángulos.
[editar]Teorema del valor
inicial
Sea
una función
derivable
a trozos y que
Entonces :
es
el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.
[editar]Teorema del valor fina
Sea una función derivable a trozos
tal que 
.Entonces :
es
el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.
Tabla de las transformadas de
Laplace más comunes
La
siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para
funciones de una sola variable.
Debido
a que la transformada de Laplace es un operador lineal, la transformada de
Laplace de una suma es la suma de la transformada de Laplace de cada
término
es
la 
