Sabemos que una ecuación diferencial lineal es de la forma,
Si esta misma ecuación se transforma en la forma,
Obtenemos una ecuación diferencial lineal homogénea. Esta se da cuando lafunción conocida no estápresente en la ecuación diferencial lineal, entonces se le llama una ecuación diferencial homogénea. Y si tenemos una gran cantidad de tales ecuaciones juntas, de manera tal que dependen unas de las otras, y definen colectivamente un problema común, entonces se les llama un sistema de ecuaciones diferenciales linealeshomogéneo.
Tales sistemas pueden ser resueltos de manera eficiente con la ayuda de las matrices, las cuales son denominadas matriz fundamental. Sean X1, X2 … X3 las soluciones de la matriz fundamental del sistema de entrada de ecuaciones diferenciales homogéneas, entonces puede representarse de manera condensada como,
En la ecuación anterior, las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales están definidas en algún intervalo, digamos I y la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales es este
En la ecuación anterior, los términos que se mantienen dentro de los corchetes son los vectores fila, donde X1 = [xi1j], X2 = [xi2j] …Xn = [xinj]. Estas son las soluciones n fundamentales del sistema de entrada de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas para el intervalo dado I.Entonces tenemos que la matriz fundamental para el sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales para el intervalo dado como I es,
Los pasos para resolver un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales son los siguientes:
1. Construye la matriz de coeficientes para las ecuaciones del sistema dado.
2. Determina los valores propios de esta matriz de coeficientes del sistema dado de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.
3. Ahora, busca el vector propio inicial de este conjunto de valores propios y nómbralo como EV1.
4. Determina la primera ecuación de este vector en términos de constantes k1, k2.
5. Después de esto, determina el siguiente conjunto de valores propios, sus vectores propios correspondientes y su ecuación.
6. Anota la solución general para las ecuaciones en términos de constantes k1, k2.
7. Por último, deriva la solución general para el sistema de ecuaciones.
Aunque el procedimiento para solucionar el sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogéneo es bastante fácil, se da un ejemplo ilustrativo que te ayudará a hacer los conceptos más claros.
dx/ dt = 2x + 3y
dy/ dt = 2x + y
Primero, escribamos la matriz constante para el sistema de ecuaciones diferenciales homogéneas dado. Esto es,
La matriz columna de los valores propios construida a partir de esta matriz de coeficientes es la siguiente,
Esto nos da 1 = −1 y 2 = 4. A partir de estos valores propios el vector propio asociado se construye como,
Colocando el valor de 1 = −1 en lugar, el valor exacto deEV1se obtiene como,
El determinante de este se obtiene como,
| EV1 | = 0.
La ecuación asociada de este vector propio es,
3k1 + 3k2 = 0
2k1 + 2k2 = 0
De manera similar, la otra ecuación para el segundo vector propio es,
-2k1 + 3k2 = 0
2k1 - 3k2 = 0
Cuando t = 0, c1 = 1 y c2 = 1.
X1 = e-t K1
Del mismo modo,
Esto nos da la solución general,
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