Para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales lineales, es absolutamente esencial conocer los conceptos de valor propio y vector propio. Para una matriz M dada, es llamadolos valores propios, si la condición es verdadera,
Aquí x se llama vector propio de la matriz M.
Es decir, los vectores propios son aquellos vectores que luego de ser multiplicados por la matriz de entrada permanecen proporcionales a la matriz de entrada o resultan cero.
Sea A la matriz que contiene los valores propios, como [ 1, 2, 3 … n]. A continuación se indican los pasos para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales.
1. Calcula las ecuaciones del sistema de ecuaciones diferenciales y construye la matriz que contiene los coeficientes de todas las ecuaciones en el orden en que aparecen en el sistema de entrada de la ecuación.
2. Los valores propios se obtienen de esta matriz que contiene los términos de los coeficientes.
3. Calcula todos los vectores propios de valores propios como los obtenidos en el paso anterior. Nómbralos en la secuencia a medida que son determinados como EV1, EV2, EV3 …EVn.
4. Calcula las ecuaciones correspondientes para cada uno de los conjuntos de valores propios y los vectores propios asociados. Repite este paso para cada par de valores y vectores propios.
5. Obtén la solución particular para un sistema de ecuaciones no homogéneo como,
Aquí X(t) se define como,X(t) = [x1 x2 x3 … xn]
Y en caso de que el sistema de entrada sea una ecuación diferencial homogénea, entonces la solución particular del sistema será dada de la forma,
La ecuación anterior nos da la relación,
En la relación anterior, y son valores propios y vectores propios, respectivamente.
6. Y la solución general para el sistema de ecuaciones diferenciales lineales es dada de la forma,
En general podemos decir que la solución de un sistema de ecuación diferencial es llamada solución general si los valores de las constantes no se obtienen en la solución final. La misma solución puede convertirse en una solución particular cuando tenemos el valor de las constantes determinadas. Esto se hace en el caso que el sistema de entrada de la ecuación diferencial sea un problema de valor inicial con las condiciones iniciales establecidas para la determinación de los términos constantes.
El ejemplo siguiente aclarará el procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales lineales.
Determina el conjunto de ecuaciones como xT(t) = [(x1(t), x2(t)] para el sistema de ecuaciones dx/ dt = A * x con las condiciones iniciales establecidas como x(0) = x0 = (x01, x02). El valor de la matriz A estádada como,
La ecuación característica de la matriz de coeficientes arriba es,
f( ) = 2 –trace(A) * + det(A) = 2 + 4 + 4
Y las raíces de esta ecuación nos dan repetidos valores propios de la matriz como, 1 = 2 = −2.
Entonces, el vector propio de la matriz es dado de la forma,
La matriz tiene un solo vector propio ya que ambos valores propios son los mismos. Por lo tanto, la solución general del problema se da como,
Por consiguiente, un vector propio generalizado puede ser calculado como, v = vp +s1* vh1 v1 v2 −1 0 +s1* 1 1
La solución particular de este problema sería vT(p) = (−1, 0) = v2, el cual es el valor propio generalizado de esta matriz, junto con los valores propios repetidos y vh es la solución homogénea dando el vector propiov1.
Y la solución general del problema es,
EstO nos RESULTA,
x1(0) = c1 e0 + c2 (0 – e0) = c1 – c2 = x01
x1(0) = c1 e0 + c2 (0) = c1 = x02
No hay comentarios:
Publicar un comentario